Chamada de margem e Leite-Moça

Quando vende-se opções (ou ações) a descoberto, a corretora retém uma certa quantidade de dinheiro, denominada margem inicial, ou "corte de cabelo" (haircut) na gíria inglesa. Na medida em que o mercado movimenta-se contra você, ainda mais dinheiro vai sendo retido -- é a margem de variação. Ao menos parte dessa margem de variação é devolvida quando o mercado movimenta-se a seu favor.

Algumas coisas me deixavam curioso a respeito dessa mecânica:

1) Para que serve afinal a margem? Certamente não é para garantir (totalmente) a opção vendida, já que o valor necessário para isso seria muito maior

2) De onde eles tiram os valores de margem?

3) Por que ela é recalculada diariamente?

A margem serve para efetivamente garantir o compromisso assumido pelo operador, mesmo que o mercado movimente-se muito desfavoravelmente, de modo que a Bolsa consiga honrar o compromisso ainda que o operador quebre.

O "pulo do gato" é que a margem é calculada para cobrir DOIS DIAS do "pior caso" do mercado. Isto, combinado com o recálculo diário da margem, fornece um mecanismo de segurança muito engenhoso, dando à Bolsa um dia de tempo extra para liquidar preemptivamente a posição do operador quebrado, sendo que a margem inicial é provavelmente suficiente para cobrir a perda.

Exemplo:

a) Dia 1: Operador deposita margem que (provavelmente) cobre a perda máxima possível nos dias 2 e 3
b) Dia 2: Mercado movimenta-se muito desfavoravelmente
c) Dia 2: Bolsa recalcula nova margem, e faz chamada de margem de variação
d) Dia 2: Operador não tem dinheiro para cobrir a margem nova
e) Dia 3: Bolsa liquida preemptivamente a operação, com mercado ainda movimentando-se desfavoravelmente
f) Dia 3: Dinheiro da margem foi suficiente para cobrir perdas dos dias 2 e 3 e (provavelmente) ainda sobrou um troco, que é devolvido ao operador

Bem, só falta determinar como esse "pior caso" do mercado é calculado. Infelizmente, a fórmula exata desse cálculo é uma "caixa-preta" particular de cada Bolsa. Como geralmente as Bolsas compram softwares para realizar essa tarefa, as fórmulas e algoritmos são um segredo guardado a sete chaves por cada fabricante de software.

Mas isto não impede que aproximemos o cálculo da margem usando estatística, e traçando um paralelo com o controle de estoque de um supermercado.

Por exemplo, qual é o estoque de latas de Leite-Moça que um supermercado deveria manter?

Idealmente, seria um estoque muito, muito grande -- pois Leite-Moça não estraga rápido, e sempre vende. Mas manter estoques é dinheiro parado, e isto tem um custo. Assim, precisamos otimizar nosso estoque de modo que

a) nunca falte Leite-Moça na prateleira, em situações normais;

b) não precisemos manter um estoque excessivamente grande

A verdade é que não podemos garantir o item A em 100% dos dias. Sempre pode acontecer que dê a louca nas pessoas, e a cidade inteira queira comprar Leite-Moça amanhã, no seu supermercado. O único jeito de garantir o atendimento ao cliente seria ter um estoque infinito, o que não é praticável.

Assim, vamos nos contentar em garantir que, digamos, o Leite-Moça esteja disponível 99% do tempo na prateleira. As estatísticas de venda do Leite-Moça são as seguintes:

* Média diária: 50 latas

* Desvio padrão: 10 latas

Assumundo uma distribuição normal das vendas, podemos afirmar então que:

* 67% dos dias, a venda fica entre 40 e 60 latas (sigma-1)

* 95% dos dias, a venda fica entre 30 e 70 latas (sigma-2)

* 99,4% dos dias, a venda fica entre 20 e 80 latas (sigma-3)

Assim, se nosso estoque for de 80 latas, contra uma média de vendas diária de 50 latas, podemos garantir que o cliente encontrará o produto na prateleira em 99,4% das vezes, o que é bastante bom.

Como a letra grega sigma é utilizada em fórmulas para denotar o desvio-padrão, os estatísticos gostam de falar em "eventos sigma-N" onde N é o número de desvios-padrões que o evento está distante da média. Assim, a venda de 90 latas de Leite-Moça num único dia seria um "evento sigma-4".

Quanto mais sigmas, mais improvável é o evento. Um evento "sigma-10", como por exemplo vender 150 latas de Leite-Moça num único dia, aconteceria apenas uma vez a cada vários bilhões de anos.

O problema de usar médias de venda diárias é que a Nestlé não entrega todo dia. Supondo que eu possa fazer apenas um pedido por mês, então eu preciso fazer o cálculo de estoque para um mês. Recalculando a média e o desvio-padrão para um mês:

* Média mensal = 50 x 30 = 1500 latas

* Desvio-padrão mensal = 10 x (raiz quadrada de 30) = 55 latas

Note que o desvio-padrão fica proporcionalmente menor que a média quando escalamos para um período maior. Isto acontece porque dias com vendas maiores serão parcialmente cancelados por dias com vendas fracos.

Agora, para atender um mês de demanda com 99,4% de certeza, eu preciso de 1500 + 55*3 = 1665 latas no estoque. Comprando 1665 latas ao invés de 1500, conseguimos uma garantia muito alta de atendimento ao cliente com relativamente pouco gasto adicional. E só precisamos fazer isto uma vez; no próximo mês, basta repor a quantidade vendida.

Agora, eu posso usar esse mesmo raciocínio para calcular a margem inicial de uma opção. A margem é o "estoque" que garante a Bolsa contra a "demanda" variável do mercado.

Suponha uma opção com strike = 100, delta = 0.5, ATM, e uma volatilidade de 50% ao ano. A primeira coisa é obter a volatilidade para apenas dois dias.. 50 / (raiz de (365/2)) = 3.7%. Esta volatilidade corresponde a um desvio-padrão, ou seja, 67% de chance da variação ficar entre -3.7% e +3.7%, segundo uma distribuição normal.

Se quisermos calcular a margem com 99,4% de certeza que ela vai cobrir dois dias de mercado desfavorável -- ou seja, proteger a Bolsa de eventos sigma-3 -- precisamos multiplicar a volatilidade por 3, o que dá 11.1%.

Muito bem. Se o preço da ação subir para $111 ($100 + 11.1%), o valor da opção aumentará em $5.55, segundo um delta de 0.5. (Numa subida tão grande o delta também mudaria, mas vamos manter o exemplo simples).

Como o operador vendeu a opção, um aumento de $5.55 no valor da opção significa uma PERDA de $5.55, logo esta deve ser a margem cobrada do operador para que a Bolsa estaja garantida contra 2 dias de movimentação extremamente desfavorável.

Naturalmente, a margem não cobre 100% das catástrofes; se a bolsa subir 50% em dois dias (evento sigma-13), a margem naturalmente não seria suficiente. Como a margem teria de ser infinita para garantir 100% das situações, e isto é impossível, é preciso aceitar uma solução de compromisso entre segurança e viabilidade.

Podemos estabelecer uma relação simples entre volatilidade e margem cobrada, que aproxima bem as margens cobradas na Bolsa:

margem = (valor da ação) * (delta da opção) * (volatilidade anual) * (sigmas) / 13.51

Considerando uma opção do dia de hoje: VALEB28, com delta de 0.529, volatilidade implícita de 56.5% ao ano, e VALE5 valendo R$ 27,83. Supondo que a Bolsa proteja-se de eventos até sigma-3, a margem inicial para venda desta opção seria:

27.83 * 0.529 * 0.565 * 3 / 13.51 = R$ 1,84.

Naturalmente, o valor real da margem inicial pode e vai ser diferente deste na Bolsa, em função dos seguintes fatores:

a) uso de uma volatilidade diferente (a volatilidade histórica da Vale está bem maior que 55%, o que aumentaria o valor da margem);

b) uso de um sigma maior, para proteger a Bolsa ainda mais eficazmente de movimentos bruscos do mercado;

c) levar em consideração que o delta também subiria se o mercado subisse, aumentando o valor da opção mais rapidamente que o previsto acima;

d) uso de modelos estatísticos diferentes, por exemplo levando em conta que eventos considerados "impossíveis" na distribuição normal são na verdade comuns nas Bolsas, como quedas e subidas muito grandes num único dia;

e) outras considerações extra-estatísticas, como o patrimônio do investidor em outros papéis, liquidez do papel vendido a descoberto, etc.

No próximo mês, vou "esquecer" por um dia de pedir à corretora que coloque a venda coberta de opções na cobertura, para ver quanto de margem vão me cobrar, e cotejar com a nossa previsão teórica acima. Mais novidades em breve.